Demonstrações do Teorema de Pitágoras em Perspectiva Trigonométrica
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Data
2026-07-06
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Resumo
Este trabalho investiga, em perspectiva trigonométrica, demonstrações do Teorema de Pitágoras, tomando como ponto de partida o artigo \textit{Five or Ten New Proofs of the Pythagorean Theorem}, de Ne'Kiya Jackson e Calcea Johnson. O objetivo central é mostrar que as razões trigonométricas elementares, quando tratadas em seu contexto geométrico próprio, podem organizar construções não triviais e sustentar demonstrações do Teorema de Pitágoras. Como fundamento teórico, o texto estabelece inicialmente um lema segundo o qual, em um triângulo retângulo, conhecido um ângulo agudo e um de seus lados, os demais lados ficam determinados pelas razões trigonométricas correspondentes. Em seguida, deduz geometricamente as fórmulas de adição de ângulos para seno e cosseno, trata o caso do triângulo retângulo isósceles e apresenta uma interpretação geométrica da série geométrica. Com essas ferramentas, o trabalho desenvolve dois conjuntos de demonstrações do Teorema de Pitágoras. No primeiro, reúne cinco demonstrações em diálogo com o artigo de Jackson e Johnson, reorganizadas e apresentadas em perspectiva própria. No segundo, apresenta cinco demonstrações obtidas ao longo da pesquisa, construídas no contexto deste trabalho a partir das ferramentas trigonométricas desenvolvidas nos capítulos preliminares. Ao longo de todo o texto, privilegia-se o uso sistemático das razões trigonométricas elementares. Embora essas razões estejam fundamentadas na semelhança de triângulos, as argumentações desenvolvidas são organizadas principalmente pela determinação de comprimentos por meio de relações trigonométricas. Os resultados obtidos mostram que a trigonometria elementar, compreendida com precisão conceitual, não apenas descreve triângulos retângulos, mas também oferece um princípio fecundo para a construção e a organização de demonstrações do Teorema de Pitágoras.
Abstract
Descrição
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Instituto Latino Americano de Ciências da Vida e da Natureza da Universidade Federal da Integração Latino Americana, como requisito parcial à obtenção do título de licenciado em Matemática - Licenciatura.
Palavras-chave
Teorema de Pitágoras, trigonometria, triângulos retângulos, razões trigonométricas.