Demonstrações do Teorema de Pitágoras em perspectiva trigonométrica

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dc.contributor.authorPaz, Fernanda Jeane da
dc.date.accessioned2026-07-06T14:25:21Z
dc.date.available2026-07-06T14:25:21Z
dc.date.issued2026-07-06
dc.descriptionTrabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Instituto Latino Americano de Ciências da Vida e da Natureza da Universidade Federal da Integração Latino Americana, como requisito parcial à obtenção do título de licenciado em Matemática - Licenciatura.
dc.description.abstractEste trabalho investiga, em perspectiva trigonométrica, demonstrações do Teorema de Pitágoras, tomando como ponto de partida o artigo \textit{Five or Ten New Proofs of the Pythagorean Theorem}, de Ne'Kiya Jackson e Calcea Johnson. O objetivo central é mostrar que as razões trigonométricas elementares, quando tratadas em seu contexto geométrico próprio, podem organizar construções não triviais e sustentar demonstrações do Teorema de Pitágoras. Como fundamento teórico, o texto estabelece inicialmente um lema segundo o qual, em um triângulo retângulo, conhecido um ângulo agudo e um de seus lados, os demais lados ficam determinados pelas razões trigonométricas correspondentes. Em seguida, deduz geometricamente as fórmulas de adição de ângulos para seno e cosseno, trata o caso do triângulo retângulo isósceles e apresenta uma interpretação geométrica da série geométrica. Com essas ferramentas, o trabalho desenvolve dois conjuntos de demonstrações do Teorema de Pitágoras. No primeiro, reúne cinco demonstrações em diálogo com o artigo de Jackson e Johnson, reorganizadas e apresentadas em perspectiva própria. No segundo, apresenta cinco demonstrações obtidas ao longo da pesquisa, construídas no contexto deste trabalho a partir das ferramentas trigonométricas desenvolvidas nos capítulos preliminares. Ao longo de todo o texto, privilegia-se o uso sistemático das razões trigonométricas elementares. Embora essas razões estejam fundamentadas na semelhança de triângulos, as argumentações desenvolvidas são organizadas principalmente pela determinação de comprimentos por meio de relações trigonométricas. Os resultados obtidos mostram que a trigonometria elementar, compreendida com precisão conceitual, não apenas descreve triângulos retângulos, mas também oferece um princípio fecundo para a construção e a organização de demonstrações do Teorema de Pitágoras. Resumen Este trabajo investiga, desde una perspectiva trigonométrica, demostraciones del Teorema de Pitágoras, tomando como punto de partida el artículo Five or Ten New Proofs of the Pythagorean Theorem, de Ne’Kiya Jackson y Calcea Johnson. El objetivo central es mostrar que las razones trigonométricas elementales, cuando se consideran en su propio contexto geométrico, pueden organizar construcciones no triviales y sustentar demostraciones del Teorema de Pitágoras. Como fundamento teórico, el texto establece inicialmente un lema según el cual, en un triángulo rectángulo, conocido un ángulo agudo y uno de sus lados, los demás lados quedan determinados por las razones trigonométricas correspondientes. A continuación, deduce geométricamente las fórmulas de adición de ángulos para el seno y el coseno, estudia el caso del triángulo rectángulo isósceles y presenta una interpretación geométrica de la serie geométrica. Con estas herramientas, el trabajo desarrolla dos conjuntos de demostraciones del Teorema de Pitágoras. En el primero, reúne cinco demostraciones en diálogo con el artículo de Jackson y Johnson, reorganizadas y presentadas desde una perspectiva propia. En el segundo, presenta cinco demostraciones obtenidas a lo largo de la investigación, construidas en el contexto de este trabajo a partir de las herramientas trigonométricas desarrolladas en los capítulos preliminares. A lo largo de todo el texto se privilegia el uso sistemático de las razones trigonométricas elementales. Aunque estas razones se fundamentan en la semejanza de triángulos, las argumentaciones desarrolladas se organizan principalmente mediante la determinación de longitudes por medio de relaciones trigonométricas. Los resultados obtenidos muestran que la trigonometría elemental, comprendida con precisión conceptual, no solo describe triángulos rectángulos, sino que también ofrece un principio fecundo para la construcción y la organización de demostraciones del Teorema de Pitágoras.
dc.identifier.urihttps://dspace.unila.edu.br/handle/123456789/9851
dc.rightsopenAccess
dc.subjectTeorema de Pitágoras
dc.subjecttrigonometria
dc.subjecttriângulos retângulos
dc.subjectrazões trigonométricas
dc.titleDemonstrações do Teorema de Pitágoras em perspectiva trigonométrica
dcterms.abstractThis work investigates, from a trigonometric perspective, proofs of the Pythagorean Theorem, taking as its starting point the article Five or Ten New Proofs of the Pythagorean Theorem by Ne’Kiya Jackson and Calcea Johnson. The main objective is to show that elementary trigonometric ratios, when considered within their proper geometric context, can organize nontrivial constructions and support proofs of the Pythagorean Theorem. As a theoretical foundation, the text first establishes a lemma stating that, in a right triangle, once an acute angle and one of its sides are known, the remaining sides are determined by the corresponding trigonometric ratios. It then derives geometrically the angle-addition formulas for sine and cosine, studies the case of the isosceles right triangle, and presents a geometric interpretation of the geometric series. With these tools, the work develops two collections of proofs of the Pythagorean Theorem. The first gathers five proofs in dialogue with the article by Jackson and Johnson, reorganized and presented from the author’s own perspective. The second presents five proofs obtained throughout the research, constructed within the framework of this work using the trigonometric tools developed in the preliminary chapters. Throughout the text, emphasis is placed on the systematic use of elementary trigonometric ratios. Although these ratios are grounded in triangle similarity, the arguments developed are organized primarily through the determination of lengths by means of trigonometric relations. The results show that elementary trigonometry, when understood with conceptual precision, not only describes right triangles but also provides a fruitful principle for the construction and organization of proofs of the Pythagorean Theorem.

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