Formulação posicional de um elemento axial curvilíneo com regularização espectral da hessiana em análise não linear geométrica
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Data
2026-09-01
Autores
Leite, Jedson Correa
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Resumo
Esta dissertação desenvolve uma formulação posicional parametrizada para um elemento axial curvilíneo bidimensional aplicado à análise estática não linear geométrica. A proposta parte da descrição da linha média do elemento no domínio adimensional 𝜉 ∈ [−1,1], por meio de funções de forma de Lagrange de ordem arbitrária, permitindo interpolar de modo isoparamétrico as configurações inicial e atual. A partir dessa cinemática são definidos os vetores tangentes, as métricas locais de comprimento, os jacobianos geométricos inicial e atual, o alongamento local e a deformação de Green–Lagrange uniaxial. A energia de deformação é formulada no comprimento inicial, conduzindo, por diferenciação energética, à força interna nodal consistente e à Hessiana material–geométrica do elemento. Mostra-se que o elemento reto de dois nós é recuperado como caso particular da formulação, preservando a estrutura clássica do elemento posicional de treliça, enquanto aproximações de ordem superior fornecem uma base cinemática adequada para elementos axiais curvilíneos compatíveis com a modelagem de cabos sem rigidez flexional. Além da construção cinemática e energética do elemento, esta dissertação propõe uma estratégia de regularização espectral mínima da Hessiana para o tratamento do mau condicionamento que pode surgir em problemas estáticos envolvendo elementos axiais curvilíneos sem energia de flexão. A ausência de rigidez flexional, embora coerente com a idealização mecânica de cabos, pode produzir modos quase nulos na matriz tangente, dificultando a solução incremental por métodos de Newton–Raphson, controle de deslocamento ou comprimento de arco. A estratégia proposta atua no sistema incremental, elevando seletivamente apenas os autovalores positivos abaixo de um limite mínimo admissível, definido a partir de um número de condição prescrito. Dessa forma, a regularização controla o condicionamento numérico da Hessiana sem alterar a equação de equilíbrio original, nem introduzir forças estabilizantes permanentes no resíduo físico. A formulação também incorpora cargas nodais e distribuídas conservativas, permitindo tratar carregamentos aplicados ao longo da configuração inicial do elemento. Como resultado, estabelece-se um fundamento teórico unificado para a análise estática de barras axiais retas e cabos flexíveis, com potencial para implementação computacional em códigos de Método dos Elementos Finitos Posicional e para estudos posteriores de validação, refinamento e estabilidade numérica.
Abstract
This dissertation develops a parametrized positional formulation for a twodimensional curvilinear axial element applied to geometrically nonlinear static analysis. The proposed formulation describes the element centerline in the dimensionless domain ξ ∈ [−1,1] by means of Lagrange shape functions of arbitrary order, allowing the initial and current configurations to be interpolated in an isoparametric manner. From this kinematic description, tangent vectors, local length metrics, the initial and current geometric Jacobians, the local stretch, and the uniaxial Green–Lagrange strain are defined. The strain energy is formulated with respect to the initial length, leading, through energetic differentiation, to the consistent nodal internal force and to the material–geometric Hessian of the element. It is shown that the straight two-node element is recovered as a particular case of the formulation, preserving the classical structure of the positional truss element, whereas higherorder approximations provide a suitable kinematic basis for curvilinear axial elements compatible with the modeling of cables without bending stiffness. In addition to the kinematic and energetic construction of the element, this dissertation proposes a minimum spectral regularization strategy for the Hessian in order to address the illconditioning that may arise in static problems involving curvilinear axial elements without bending energy. Although the absence of bending stiffness is mechanically consistent with the idealization of cables, it may generate nearly zero modes in the tangent matrix, making the incremental solution by Newton–Raphson, displacement control, or arc-length methods more difficult. The proposed strategy acts on the incremental system by selectively raising only the positive eigenvalues below a minimum admissible bound, defined from a prescribed condition number. In this way, the regularization controls the numerical conditioning of the Hessian without modifying the original equilibrium equation or introducing permanent stabilizing forces into the physical residual. The formulation also incorporates conservative nodal and distributed loads, allowing loads applied along the initial configuration of the element to be treated consistently. As a result, a unified theoretical framework is established for the static analysis of straight axial bars and flexible cables, with potential for computational implementation in positional finite element codes and for subsequent studies involving validation, refinement, and numerical stability.
Descrição
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal da Integração Latino-Americana, como parte integrante dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil.
Palavras-chave
não linearidade geométrica, Hessiana, regularização espectral, análise estática não linear