Sequências de Cauchy e a completude dos números reais
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Data
2025-08-12
Autores
Fuentes León, Alan Adriano
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Resumo
Este Trabalho de Conclusão de Curso (TCC) explora a propriedade fundamental de completude dos números reais, com especial atenção a sua relação intrínseca com as sequencias de Cauchy. Para tal, fizemos um estudo sobre sequencias de números reais, propriedades e exemplos. Posteriormente, definimos espaços métricos e sequencias de Cauchy em espaços métricos e, finalmente, mostramos que o conjunto dos números reais e um espaço métrico completo. O TCC, baseado na obra de Elon Lages Lima [1] e [3] fundamentando os principais resultados na literatura clássica de Análise Real e Espaços Métricos, contribui para a compreensão didática e rigorosa desses conceitos, oferecendo uma perspectiva abrangente sobre sua importância para a fundamentação da matemática. O trabalho aborda as propriedades dos números reais como corpo ordenado e o Axioma do Supremo, que formaliza a completude ao “preencher os buracos” da reta numérica, distinguindo R de Q.
Resumen
Este Trabajo Final de Curso explora la propiedad fundamental de completitud de los números reales, con especial atención a su relación intrínseca con las sucesiones de Cauchy. Para ello, estudiamos sucesiones de números reales, sus propiedades y ejemplos. Posteriormente, definimos los espacios métricos y las sucesiones de Cauchy en espacios métricos, y finalmente, demostramos que el conjunto de los números reales es un espacio métrico completo. Basándose en el trabajo de Elon Lages Lima [1] y [3], que fundamenta los principales resultados de la literatura clásica sobre Análisis Real y Espacios Métricos, el TCC contribuye a la comprensión didáctica y rigurosa de estos conceptos, ofreciendo una perspectiva integral sobre su importancia para los fundamentos de las matemáticas. El trabajo aborda las propiedades de los números reales como un cuerpo ordenado y el Axioma del Supremo, que formaliza la completitud al "rellenar los huecos" en la recta numérica, distinguiendo R de Q.
Abstract
This Final Course Work explores the fundamental property of completeness of real numbers, with special attention to its intrinsic relationship with Cauchy sequences. To this end, we studied sequences of real numbers, their properties, and examples. Subsequently, we defined metric spaces and Cauchy sequences in metric spaces, and finally, we showed that the set of real numbers is a complete metric space. Based on the work of Elon Lages Lima [1] and [3], grounding the main results in the classical literature on Real Analysis and Metric Spaces, the TCC contributes to the didactic and rigorous understanding of these concepts, offering a comprehensive perspective on their importance for the foundation of mathematics. The work addresses the properties of real numbers as an ordered field and the Axiom of the Supreme, which formalizes completeness by "filling in the gaps" on the number line, distinguishing R from Q.
Descrição
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Instituto Latino Americano de Ciências da Vida e da Natureza da Universidade Federal da Integração Latino Americana, como requisito parcial à obtenção do título de licenciado em Matemática - Licenciatura.
Palavras-chave
números reais, sequências de Cauchy, análise matemática
Citação
FUENTES LEÓN, Alan Adriano. Sequências de Cauchy e a Completude dos Números Reais. 2025. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Universidade Federal da Integração Latino-Americana, Foz do Iguaçu, 2025.