TCC - Matemática - Licenciatura

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ILACVN - Centro de Ciências da Natureza - Licenciatura em Matemática

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Navegando TCC - Matemática - Licenciatura por Assunto "axioma do supremo"

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    Equivalências do Axioma do Supremo
    (2023) Oliveira, Ana Leticia de
    Neste trabalho, estudamos as propriedades que os números reais satisfazem. Dentro dessas propriedades, destaca-se o chamado axioma do supremo. O axioma do supremo afirma que todo subconjunto não vazio limitado superiormente dos números reais admite um menor limite superior (chamado de supremo). Tendo em vista que os números racionais possuem lacunas, ou seja, não são completos, assumimos a existência do conjunto dos números reais a fim de examinar o axioma do supremo. Mostramos com detalhes que o axioma do supremo é equivalente às seguintes afirmações: R é arquimediano (o conjunto dos números naturais não é limitado superiormente em R) e toda sequência de Cauchy em R converge em R; não existe uma partição de R em dois subconjuntos A e B disjuntos e não vazios tal que todos os elementos de A sejam menores que todos os elementos de B e, que A tem o elemento máximo em R ou B tem o elemento mínimo em R (não há lacunas em R); todo subconjunto não vazio limitado inferiormente dos números reais possui um maior limite inferior (axioma do ínfimo); todo subconjunto fechado e limitado de R que é coberto por uma família de intervalos abertos admite uma subcobertura finita; todo subconjunto infinito e ilimitado de R tem um ponto de acumulação em R; R é arquimediano e toda sequência decrescente de intervalos fechados e limitados em R tem, pelo menos, um ponto em comum (propriedade dos intervalos encaixantes). Posto isso, foi possível comprovar que esse axioma é a resposta para compreender muitos dos conceitos fundamentais do cálculo.