O número π: um estudo de sua irracionalidade, transcendência e potências específicas

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dc.contributor.authorBraga, Marhlon Bhrendo Fernandez
dc.date.accessioned2025-08-25T20:40:27Z
dc.date.available2025-08-25T20:40:27Z
dc.date.issued2025
dc.descriptionTrabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Instituto Latino Americano de Ciências da Vida e da Natureza da Universidade Federal da Integração Latino Americana, como requisito parcial à obtenção do título de licenciado em Matemática - Licenciatura.
dc.description.abstractEste trabalho de conclusão de curso investiga a natureza matemática do número π, focando em suas propriedades de irracionalidade e transcendência. São estabelecidos os fundamentos matemáticos necessários, abrangendo conceitos de cálculo real e complexo, além de elementos da teoria dos números e um panorama histórico da constante. O estudo da irracionalidade de π é abordado por meio das demonstrações de Ivan Niven e Cartwright. A transcendência de Pi, por sua vez, é explorada através das provas desenvolvidas por Robert E. Moritz e Ivan Niven. Adicionalmente, este trabalho apresenta a demonstração da irracionalidade de π 4 baseada na técnica de identidades integrais de Hermite, conforme proposto por Mohammad Reza Yegan. Durante a análise desta abordagem, foi realizada uma investigação detalhada da derivação de uma relação de recorrência fundamental para a prova da irracionalidade de π 6 contida no artigo de Yegan (2017), revelando inconsistências significativas que impediram sua replicação e inclusão. Os resultados obtidos contribuem para uma compreensão mais profunda das propriedades de π, destacando a complexidade e a beleza da matemática, ao mesmo tempo em que enfatizam a importância da verificação rigorosa em pesquisa. O estudo reforça a relevância de π em diversas áreas do conhecimento e inspira novas direções para a pesquisa, especialmente na elucidação da referida inconsistência. Resumen Este trabajo de conclusión de curso investiga la naturaleza matemática del número π, centrándose en sus propiedades de irracionalidad y trascendencia. Se establecen los fundamentos matemáticos necesarios, abarcando conceptos de cálculo real y complejo, además de elementos de la teoría de números y un panorama histórico de la constante. El estudio de la irracionalidad de π se aborda mediante las demostraciones de Ivan Niven y Cartwright. La trascendencia de π, a su vez, se explora a través de las pruebas desarrolladas por Robert E. Moritz e Ivan Niven. Adicionalmente, este trabajo presenta la demostración de la irracionalidad de π 4 basada en la técnica de identidades integrales de Hermite, según lo propuesto por Mohammad Reza Yegan. Durante el análisis de este enfoque, se realizó una investigación detallada de la derivación de una relación de recurrencia fundamental para la prueba de la irracionalidad de π 6 contenida en el artículo de Yegan (2017), revelando inconsistencias significativas que impidieron su replicación e inclusión. Los resultados obtenidos contribuyen a una comprensión más profunda de las propiedades de π, destacando la complejidad y la belleza de las matemáticas, al mismo tiempo que enfatizan la importancia de la verificación rigurosa en la investigación. El estudio refuerza la relevancia de π en diversas áreas del conocimiento e inspira nuevas direcciones para la investigación, especialmente en la elucidación de dicha inconsistência.
dc.identifier.urihttps://dspace.unila.edu.br/handle/123456789/9264
dc.language.isovi
dc.rightsopenAccess
dc.subjectnúmeros irracionais
dc.subjecttranscendência (matemática)
dc.subjectpropriedades do número Pi
dc.subjectteoria dos números
dc.titleO número π: um estudo de sua irracionalidade, transcendência e potências específicas
dcterms.abstractThis undergraduate thesis investigates the mathematical nature of the number π, focusing on its irrationality and transcendence properties. Necessary mathematical foundations are established, covering concepts from real and complex calculus, as well as elements of number theory and a historical overview of the constant. The study of π’s irrationality is approached through the demonstrations by Ivan Niven and Cartwright. π’s transcendence, in turn, is explored through proofs developed by Robert E. Moritz and Ivan Niven. Additionally, this work presents the demonstration of π 4 ’s irrationality based on Hermite’s integral identities technique, as proposed by Mohammad Reza Yegan. During the analysis of this approach, a detailed investigation into the derivation of a fundamental recurrence relation for the proof of π 6 ’s irrationality contained in Yegan’s (2017) article was conducted, revealing significant inconsistencies that prevented its replication and inclusion. The obtained results contribute to a deeper understanding of π’s properties, highlighting the complexity and beauty of mathematics, while also emphasizing the importance of rigorous verification in research. The study reinforces π’s relevance in various fields of knowledge and inspires new directions for research, particularly in elucidating the aforementioned inconsistency.

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