Fuentes León, Alan Adriano2025-08-122025-08-122025-08-12FUENTES LEÓN, Alan Adriano. Sequências de Cauchy e a Completude dos Números Reais. 2025. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Universidade Federal da Integração Latino-Americana, Foz do Iguaçu, 2025.https://dspace.unila.edu.br/handle/123456789/9207Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Instituto Latino Americano de Ciências da Vida e da Natureza da Universidade Federal da Integração Latino Americana, como requisito parcial à obtenção do título de licenciado em Matemática - Licenciatura.Este Trabalho de Conclusão de Curso (TCC) explora a propriedade fundamental de completude dos números reais, com especial atenção a sua relação intrínseca com as sequencias de Cauchy. Para tal, fizemos um estudo sobre sequencias de números reais, propriedades e exemplos. Posteriormente, definimos espaços métricos e sequencias de Cauchy em espaços métricos e, finalmente, mostramos que o conjunto dos números reais e um espaço métrico completo. O TCC, baseado na obra de Elon Lages Lima [1] e [3] fundamentando os principais resultados na literatura clássica de Análise Real e Espaços Métricos, contribui para a compreensão didática e rigorosa desses conceitos, oferecendo uma perspectiva abrangente sobre sua importância para a fundamentação da matemática. O trabalho aborda as propriedades dos números reais como corpo ordenado e o Axioma do Supremo, que formaliza a completude ao “preencher os buracos” da reta numérica, distinguindo R de Q. Resumen Este Trabajo Final de Curso explora la propiedad fundamental de completitud de los números reales, con especial atención a su relación intrínseca con las sucesiones de Cauchy. Para ello, estudiamos sucesiones de números reales, sus propiedades y ejemplos. Posteriormente, definimos los espacios métricos y las sucesiones de Cauchy en espacios métricos, y finalmente, demostramos que el conjunto de los números reales es un espacio métrico completo. Basándose en el trabajo de Elon Lages Lima [1] y [3], que fundamenta los principales resultados de la literatura clásica sobre Análisis Real y Espacios Métricos, el TCC contribuye a la comprensión didáctica y rigurosa de estos conceptos, ofreciendo una perspectiva integral sobre su importancia para los fundamentos de las matemáticas. El trabajo aborda las propiedades de los números reales como un cuerpo ordenado y el Axioma del Supremo, que formaliza la completitud al "rellenar los huecos" en la recta numérica, distinguiendo R de Q.viopenAccessnúmeros reaissequências de Cauchyanálise matemática