Equivalências do Axioma do Supremo
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Data
2023
Autores
Oliveira, Ana Leticia de
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Resumo
Neste trabalho, estudamos as propriedades que os números reais satisfazem. Dentro
dessas propriedades, destaca-se o chamado axioma do supremo. O axioma do supremo
afirma que todo subconjunto não vazio limitado superiormente dos números reais admite
um menor limite superior (chamado de supremo). Tendo em vista que os números
racionais possuem lacunas, ou seja, não são completos, assumimos a existência do
conjunto dos números reais a fim de examinar o axioma do supremo. Mostramos
com detalhes que o axioma do supremo é equivalente às seguintes afirmações: R
é arquimediano (o conjunto dos números naturais não é limitado superiormente em
R) e toda sequência de Cauchy em R converge em R; não existe uma partição de R
em dois subconjuntos A e B disjuntos e não vazios tal que todos os elementos de
A sejam menores que todos os elementos de B e, que A tem o elemento máximo
em R ou B tem o elemento mínimo em R (não há lacunas em R); todo subconjunto
não vazio limitado inferiormente dos números reais possui um maior limite inferior
(axioma do ínfimo); todo subconjunto fechado e limitado de R que é coberto por uma
família de intervalos abertos admite uma subcobertura finita; todo subconjunto infinito e
ilimitado de R tem um ponto de acumulação em R; R é arquimediano e toda sequência
decrescente de intervalos fechados e limitados em R tem, pelo menos, um ponto em
comum (propriedade dos intervalos encaixantes). Posto isso, foi possível comprovar
que esse axioma é a resposta para compreender muitos dos conceitos fundamentais
do cálculo.
Descrição
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Instituto Latino Americano de Ciências da Vida e da Natureza da Universidade Federal da Integração Latino Americana, como requisito parcial à obtenção do título de licenciado em Matemática - Licenciatura.
Palavras-chave
axioma do supremo, propriedade arquimediana, intervalos encaixantes, lacunas, sequências de Cauchy