Aspectos geométrico da analogia óptico-mecânica de geodésicas em espaços curvo com simetrias esféricas

Abstract

O desvio da luz, ao passar sobre uma massa gravitacional, pode ser calculado de várias formas diferentes. Entretanto, neste trabalho, o estudo foi feito através da descrição da trajetória do raio de luz monocromático, usando uma abordagem do meio óptico. Inicialmente, para estabelecer essa abordagem, fez-se necessário mostrar a analogia da equação da geodésica e a eikonal. Para obtenção desta analogia, precisou-se descrever o caminho geométrico da luz por meio de formalismo métrico, permitindo, assim, calcular a trajetória do raio de luz comparando o feixe de luz monocromático no espaço-tempo com um raio de luz propagando em um meio óptico. Deste modo, comparando o índice de refração com algumas configurações de índice de refração da lente GRIN, possibilitando, representar de maneira genérica a deflexão da luz. A geodésica pôde ser expressa por meio do formalismo lagrangiano, resultando em uma solução para descrever a trajetória do raio de luz. Nesse formalismo, determinamos quantidades conservadas não triviais por métodos analíticos e numéricos. Este método baseou-se no cálculo de tensores Stackel-Killing (SKT), que forneceu vários procedimentos relevantes.

The deviation of light, when passing over a gravitational mass, can be calculated in se- veral di erent ways. However, in this work, the study was made through the description of the trajectory of the monochromatic light beam, using an optical approach. Initially, to establish this approach, it was necessary to show the analogy of the geodesic and eikonal equations. To obtain this analogy, it was necessary to describe the geometric path of light by means of metric formalism, thus allowing to calculate the trajectory of the ray of light by comparing the monochromatic light beam in spacetime with a ray of light that propagated in an optical medium. Thus, comparing the refractive index with some con gurations of the refractive index of the GRIN lens, allowing to represent in a generic way the light de ection. The geodesic could be expressed by means of Lagrangian formalism. The geodesic could be expressed through Hamiltonian forma- lism. In this formalism, we determined non-trivial conserved quantities by analytical and numerical methods. This method was based on the calculation of Stackel-Killing tensors (SKT), which provided several relevant procedures